<p style="box-sizing: border-box; margin: 0px; padding: 0px; font-family: 微軟雅黑, Arial, Helvetica, sans-serif; -webkit-tap-highlight-color: transparent; color: rgb(114, 114, 114); white-space: normal; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: center;"><span style="font-family: sans-serif;">———以蘇科版初中數(shù)學九年級上冊《§2．1圓（1）》教學實踐為例</span><br/></p><p style="text-align: right;"> <span style="font-size: 14px;">潘建明 （江蘇省常州市田家炳初級中學 213002） </span></p><p style="text-align: justify;"><strong>教育教學的核心是“人的發(fā)展”。隨著“學生發(fā)展核心素養(yǎng)”和“數(shù)學學科素養(yǎng)”的頒布，數(shù)學新課程改革已走向內(nèi)涵發(fā)展期的“深水區(qū)”，數(shù)學課堂教學要從理念到行為的都要發(fā)生根本的變化。只有贏在課堂才能贏得未來。數(shù)學素質(zhì)教育主陣地是課堂，課堂的“靈魂”是學生的“學習過程”。為了每一個學生能更好地掌握數(shù)學知能，在數(shù)學學習過程中獲得提出問題、分析問題和解決問題的智慧。我工作室近十年來進行了“自覺數(shù)學課堂”[2]的教學研究。關(guān)注數(shù)學教學本質(zhì)的回歸：關(guān)注學習組織、學習起點、學習過程、課堂形態(tài)、教育角色、教育評價等一系列的變革，即讓數(shù)學課堂教學從空間結(jié)構(gòu)和時間秩序及活動流程都要發(fā)生了變化。旨在讓數(shù)學課堂從“知識的課堂”——“能力的課堂”——“創(chuàng)新的課堂”——“自覺的課堂”進行一路轉(zhuǎn)型，讓課堂從教師如何“教”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生如何“學”，關(guān)注創(chuàng)造新知、激發(fā)創(chuàng)新潛能、促進深度學習的發(fā)生、提升學生高階思維品質(zhì)。“自覺數(shù)學課堂”的教學策略是“學、教、做相統(tǒng)一，講、探、練相結(jié)合”。從以教為中心、以學為中心進入教中有學、學中有教、不分彼此的“第三種教學關(guān)系”，實現(xiàn)了促進個性化學習的一種混合式學習。2017年5月23日在泰州市舉行了江蘇省初中數(shù)學名師發(fā)展共同體活動，本文以這次活動中筆者用八年級學生上的蘇科版初中數(shù)學九年級上冊《§2．1圓（1）》教學現(xiàn)實為例。</strong></p><p style="text-align: justify;"><strong>一、關(guān)注前經(jīng)驗喚醒，以“真學”定“真教”</strong></p><p style="text-align: justify;">學生在小學階段對圓的相關(guān)知識已有了一定的認知，在新知教學中，我們必須首先弄清對他們已經(jīng)對圓的知識了解了多少?已掌握了哪些?有哪些知識是正確的?哪些知識是模糊的?哪些知識是錯誤的?認知結(jié)構(gòu)的狀況如何?最近發(fā)展區(qū)在哪里?我們的教學起點在哪里?帶學生走向哪里?……這些都以“真學”定“真教”的本質(zhì)性問題。</p><p style="text-align: justify;">[“自覺體悟”環(huán)節(jié)教學片斷</p><p style="text-align: justify;">師：請同學們舉一些生活中有關(guān)圓的例子嗎?</p><p style="text-align: justify;">生1：車輪、轉(zhuǎn)盤。</p><p style="text-align: justify;">生2：帽子、硬幣。</p><p style="text-align: justify;">師：這兩位同學舉的例子中的圖形都是圓嗎?</p><p style="text-align: justify;">生（眾）：是！</p><p style="text-align: justify;">師：老師再給出下列圖形（如圖1），請你判定哪些圖形是圓?</p><p style="text-align: justify;">生3：就第一個籃球不是圓，其他都是圓！</p><p style="text-align: justify;">師：為什么籃球不是圓?</p><p style="text-align: justify;">生3：圓是平面圖形，籃球是立體圖形。</p><p style="text-align: justify;">師：你們還有不同的看法嗎? 圖1</p><p style="text-align: justify;">生：沒有了。</p><p style="text-align: justify;">師：看來同學們在對“圓”的“正確認識”上還有一定的誤區(qū)！到底什么樣的平面圖形才是圓呢?等我們探究完圓的定義，再來討論這個問題。</p><p style="text-align: justify;"><strong>啟示：讓學生在接受新知前我們要讓他們從精神上、心理上、智力上、經(jīng)驗上都要作好學習新知識的準備，特別是在學生小學已學過的相關(guān)內(nèi)容上，要找到切入口將新知能自覺地同化（或順應(yīng)）到舊知中，這類活動的設(shè)計切入口要小，但要平中見奇、引人入勝，且是具體的、現(xiàn)實的、有意義的和富有挑戰(zhàn)性的，通過他們的感知、分析、判斷、想象和歸納等心智活動，豐富基本活動經(jīng)驗，激發(fā)對新知的興趣和好奇心。只有學生獲得了實際的感觀，才有探究和接受新知的“思維新基點”。讓學生在自覺體悟中形成認知沖突，才能激發(fā)學生進一步探究的熱情，這是學生認知的基礎(chǔ)。</strong></p><p style="text-align: justify;"><strong>二、運用做中學、思、探，自覺認知圓的本質(zhì)</strong></p><p style="text-align: justify;">在小學學生已經(jīng)學習過如何用圓規(guī)畫圓，他們對圓的認識若只停留在這個水平上，是很不夠的，我們要精心設(shè)計遞進性學習活動，讓學生在做中學、思、探，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)圓的形成過程，給出圓的“運動定義”。讓學生“用圓規(guī)畫圓”這是做中學的起點，也是讓學生進行在做中學、思、探的基礎(chǔ)，我們的數(shù)學教學活動起點要低，但立意要高，活動的精度要好。</p><p style="text-align: justify;">[“探究導(dǎo)學”環(huán)節(jié)教學片斷</p><p style="text-align: justify;">師：請同學們用圓規(guī)在學案紙上畫一個圓。</p><p style="text-align: justify;">（學生畫圓）</p><p style="text-align: justify;">師：請同學比較小組內(nèi)各位同學所畫的圓，你有什么發(fā)現(xiàn)或感悟?</p><p style="text-align: justify;">（小組交流后）</p><p style="text-align: justify;">生4：畫一個圓需要兩個要素：圓心和半徑。</p><p style="text-align: justify;">師：這兩個要素對作出的圓的形狀與大小有什么影響?</p><p style="text-align: justify;">生4：圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。</p><p style="text-align: justify;">師：請同學們思考：如何在運動場上畫一個半徑為20m的圓?小組交流。</p><p style="text-align: justify;">（小組交流后）</p><p style="text-align: justify;">生5：讓一個同學拉住20m長的繩子的一端固定在一點，另一個同學拉直20m長的繩子在運動場上繞著固定的一點旋轉(zhuǎn)一周，他畫出來的圓即為所求作。</p><p style="text-align: justify;">師：其他小組有不同的意見嗎? 圖2</p><p style="text-align: justify;">生6：我們小組認為，可在運動場上取一點作為圓心，將運動場上所有到這個點的距離等于20m的點用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓。</p><p style="text-align: justify;">師：還有不同的想法嗎?</p><p style="text-align: justify;">生：沒有了。</p><p style="text-align: justify;">師：現(xiàn)在我們回顧圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的過程，請看視頻（如圖2、圖3）。</p><p style="text-align: justify;">師：小組交流；圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓它們有什么共同點和不同點?（小組交流后） 圖3</p><p style="text-align: justify;">生7：它們的共同點是一個點固定，另一個點繞著它旋轉(zhuǎn)一周；不同點是畫小圓用圓規(guī)，畫大圓用繩子。</p><p style="text-align: justify;">生8：他說得不對！它們的共同點是一個點固定，另一個點繞著它旋轉(zhuǎn)一周，還要加上運動點到固定的點的長度（距離）要保持不變。</p><p style="text-align: justify;">師：好的！請同學們再探究：圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓，它們能畫出圓的本質(zhì)是什么?</p><p style="text-align: justify;">（小組交流后）</p><p style="text-align: justify;">生9：將一條線段的一個端點固定，另一個端點繞著它旋轉(zhuǎn)一周，所畫出的圖形就是圓。 圖4</p><p style="text-align: justify;"> </p><p style="text-align: justify;">生10：還要加上“在同一平面內(nèi)”和“畫出的是封閉的圖形”。</p><p style="text-align: justify;">師：這兩位同學基本上說出了圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的本質(zhì)?，F(xiàn)在老師來用幾何畫板演示一下（如圖4）. </p><p style="text-align: justify;">師：看完老師的動畫演示，你有什么感悟?怎樣給圓下定義?同位互動交流后小組整理。</p><p style="text-align: justify;">（學生交流互動后）</p><p style="text-align: justify;">生11：在平面內(nèi),把線段OP繞著端點O旋轉(zhuǎn)1周，端點P運動所形成的封閉圖形叫做圓。</p><p style="text-align: justify;">師：這位同學說得很好！這就是圓的“運動定義”（板書）。定點O叫做圓心。線段OP（定長）叫做圓的半徑。記為“⊙O”，讀作“圓O”?，F(xiàn)在再請同學們思考：圓是一條線?還是一個面?</p><p style="text-align: justify;">生12：一條線，不是一個面！</p><p style="text-align: justify;">師：為什么?</p><p style="text-align: justify;">生12：圓是“在平面內(nèi),把線段OP繞著端點O旋轉(zhuǎn)1周，端點P運動所形成的封閉圖形”而不是“線段OP運動所形成的圖形”。</p><p style="text-align: justify;">師：現(xiàn)在我們再回頭看一下剛才的問題判斷（如圖1）下列圖形哪些是圓?</p><p style="text-align: justify;">生13：只有（4）是圓。</p><p style="text-align: justify;">師：為什么硬幣不是圓?</p><p style="text-align: justify;">生13：硬幣是圓面！圓是一條封閉的曲線。</p><p style="text-align: justify;"><strong>啟示：“自覺數(shù)學課堂”教學的本質(zhì)并不是只關(guān)注活動經(jīng)驗的簡單積累，而應(yīng)更加重視如何能夠幫助學生在經(jīng)驗的積累中實現(xiàn)相應(yīng)的思維發(fā)展，并不斷地向更高層次提升，只有這樣才能讓學生學會用知識生成智慧。為了幫助學生形成智慧，我們就應(yīng)更加重視數(shù)學學習活動的學程設(shè)計，要更加重視學生對于學習活動的直接參與。這里通過學生熟悉的圓規(guī)在紙上畫“小圓”開始，再讓學生解決在運動場上畫半徑為20m的“大圓”，探究用圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的本質(zhì)上的異同性，讓圓的“運動定義”“自覺生成”。因此，我們要通過遞進性的學習活動，運用做中學、思、探，讓學生自覺認知圓的本質(zhì)，促進學生對圓的“運動定義”的“同化”和“順應(yīng)”。</strong></p><p style="text-align: justify;"><strong>三、提供先行組織者，助力學生自覺創(chuàng)造新知</strong></p><p style="text-align: justify;">在《圓（1）》這一教學內(nèi)容中，學生的認知難點是圓的“集合定義”，教學重點是點與圓的位置關(guān)系的認知與判斷方法，為了減輕學生的認知負荷，突破教學難點，讓學生建立對新知的“有序理解”，我改變了教材中的知識呈現(xiàn)的順序。在教學中，我們常常要讓教材的邏輯結(jié)構(gòu)要服從學生的認知邏輯結(jié)構(gòu)，這就需要我們深度了解學情，靈活處理教材，這樣才能使學生的學習過程鮮活而靈動。</p><p style="text-align: justify;">[“深度探究”環(huán)節(jié)教學片斷</p><p style="text-align: justify;">師：請同學們觀察圖4，思考：圓將平面分成幾部分?</p><p style="text-align: justify;">生14：圓將平面分成三部分，分別是圓內(nèi)部分、圓上部分和圓外部分。</p><p style="text-align: justify;">師：現(xiàn)在老師向這個圓所在的平面內(nèi)撒若干個點，如圖5所示，請你說出點與圓的位置關(guān)系。先請認真思考后在小組內(nèi)交流。</p><p style="text-align: justify;">（學生小組內(nèi)交流后）</p><p style="text-align: justify;">生15：點與圓的位置關(guān)系有三種：分別是點在圓內(nèi)、點在圓上和點在圓外。</p><p style="text-align: justify;">師：我們怎樣判斷點與圓的這三種位置關(guān)系呢? 圖5</p><p style="text-align: justify;"> </p><p style="text-align: justify;">（生一臉茫然）。</p><p style="text-align: justify;">師；現(xiàn)在讓同學們先解決一個問題，能否從解決這個問題中獲得一些啟示。</p><p style="text-align: justify;">教師給出問題情境（先行組織者）：海平面內(nèi)，以點O為圓心的10km內(nèi)和邊界上有暗礁，A船距點O的距離為8km，B船距點O的距離為10km，C船距點O的距離為15km，請判斷A船、B船和C船分別有無觸礁的危險?</p><p style="text-align: justify;">生16：A船、B船有觸礁的危險，C船沒有。</p><p style="text-align: justify;">師：為什么?</p><p style="text-align: justify;">生16：因為以點O為圓心的10km內(nèi)和邊界上有暗礁，A船距點O的距離為8km，說明A船在圓內(nèi)；B船距點O的距離為10km，說明B船在圓周上，它們都有觸礁的危險，而C船距點O的距離為15km，說明它在圓外，就沒有觸礁的危險。</p><p style="text-align: justify;">師：如何判斷點與圓的位置關(guān)系，你有何想法?</p><p style="text-align: justify;">生17：將點與圓心連接起來，用這條線段的長度與半徑進行比較就行。</p><p style="text-align: justify;">師：我們記圓的半徑為r，這條線段的長度為d，如何判定點和圓的位置關(guān)系呢?現(xiàn)在請各小組畫圖并探究。</p><p style="text-align: justify;">（小組合作探究后）</p><p style="text-align: justify;">生18：當d<r時，點在圓內(nèi);當d=r時，點在圓上;當d>r時，點在圓外.</r時，點在圓內(nèi);當d=r時，點在圓上;當d></p><p style="text-align: justify;">生19：老師反過來也是可以的。當點在圓內(nèi)時，則d<r;當點在圓上時，則d=r;當點在圓外時，則d>r.</r;當點在圓上時，則d=r;當點在圓外時，則d></p><p style="text-align: justify;">師：同學們，探究得很好！前一個同學說的是點與圓位置關(guān)系的判定方法，后一個同學說的是點與圓位置關(guān)系的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們將點與圓位置的判定和性質(zhì)用“”來表示，讀著“等價于”，它的含義是從左邊能得到右邊的同時，也能從右邊得到左邊。點與圓的位置關(guān)系用“”表述如圖6. 圖6</p><p style="text-align: justify;">師：剛才我們在畫半徑為20m的大圓時，有小組說“可在運動場上取一點作為圓心，將運動場上所有到這個點的距離等于20m的點用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓。”現(xiàn)在我們重點討論“點在圓上d=r”，根據(jù)“等價于”的意義，它的含義是什么?</p><p style="text-align: justify;">生20：如果點在圓上則這個點到圓以的距離等于半徑；如果一個點到圓心的距離等于半徑則這個點在圓上。</p><p style="text-align: justify;">師：這句話似曾相識，在哪里遇到過的?</p><p style="text-align: justify;">生20：學線段的垂直平分線的時候。</p><p style="text-align: justify;">師：當時是怎么說的?</p><p style="text-align: justify;">生20：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；最后得到了“線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合”。</p><p style="text-align: justify;">生21：老師還有。角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；最后得到了“角平分線是到角兩邊距離相等的點的集合”。</p><p style="text-align: justify;">師：現(xiàn)在你們有什么要說的?</p><p style="text-align: justify;">生22：我們可以類似地得到“圓是到圓心的距離等于半徑的點的集合”。</p><p style="text-align: justify;">師：很好！不過現(xiàn)在我們將圓心說成定點，半徑說成定長，這樣又該怎樣表述?</p><p style="text-align: justify;">生：（眾）圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。</p><p style="text-align: justify;">師：這就是圓的集合定義（板書）。結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，你們還能得到哪些類似的結(jié)論?</p><p style="text-align: justify;">生23：圓的內(nèi)部是到定點的距離小于定長的所有點的集合。</p><p style="text-align: justify;">生24：圓的外部是到定點的距離大于定長的所有點的集合。 </p><p style="text-align: justify;"><strong>啟示：點與圓的位置關(guān)系的判定方法與圓的“集合定義”都是學生的認知難點，本學習活動從圓將平面分成幾個部分自然過渡到點與圓的位置關(guān)系的分類，當如何判定點和圓的位置關(guān)系學生一莫愁展時，通過給一個問題情境，啟發(fā)了學生的思維，尋找到了判定的策略，并由個性問題追溯到共性問題，總結(jié)出了一般規(guī)律。再通過“點在圓上d=r”的雙向本質(zhì)性的解讀，類比線段的垂直平分線和角平分線的“集合定義”，順理成章地得到了圓的“集合定義”，這樣提供先行組織者，不但使學生學會了在原有知識基礎(chǔ)上學習新知識的方法，也助力學生自覺創(chuàng)造新知。</strong></p><p style="text-align: justify;"><strong>四、講、探、練結(jié)合，促進高階思維自覺形成</strong></p><p style="text-align: justify;">“自覺數(shù)學課堂”突出自我責任、自覺體悟、思維素養(yǎng)、學習品質(zhì)和自組織力。建構(gòu)主義認為，學習過程一方面是對新信息的意義的建構(gòu)，另一方面也包含對原有經(jīng)驗的改造與重組。課堂教學中一定要讓學生的學習從淺層學習（理解、識記和應(yīng)用）走向深層學習（分析、評價和創(chuàng)建），在教學策略上要關(guān)注講、探、練相結(jié)合，通過師生、生生和生本的多維互動，讓學生重構(gòu)自己原有的認識，取得更加全面深刻的感悟，促進高階思維品質(zhì)的自覺形成。</p><p style="text-align: justify;">在“變式應(yīng)用”環(huán)節(jié)教學中，我設(shè)計了如下的問題。</p><p style="text-align: justify;">1.已知⊙O半徑為5， ①若OP=3，則點P在⊙O____; ②若OP=5，則點P在⊙O____; ③若OP=7，則點P在⊙O____。</p><p style="text-align: justify;">2.已知⊙O的半徑為r，OP=8. ①若P在⊙O外，則r的取值范圍為_________; ②若P在⊙O內(nèi)，則r的取值范圍為r_____; ③若P在⊙O上，則r_____ 。 </p><p style="text-align: justify;">3.如圖7，矩形ABCD對角線相交于O，問題：點A、B、C、D是否在同一個圓上？如果在，圓心是什么？半徑是什么？ 圖7</p><p style="text-align: justify;">4.如圖8，已知線段PQ＝4cm.（1）畫出下列圖形：?到點P的距離等于2cm的點的集合；?到點Q的距離等于3cm的點的集合．（2）在所畫圖中，到點P的距離等于2cm，且到點Q的距離等于3cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來．（3）在所畫圖中，到點P距離小于或等于2cm，且到點Q的距離大于或等于3cm的點的集合是怎樣的圖形？把它指出來．</p><p style="text-align: justify;">啟示：在數(shù)學學習過程中，學生在已獲得了對感知新知的一些初步經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，再有同伴之間的良性差異互動，使他們看到了同伴與自己不一樣的思考、聽到了與自己不同的觀點，便能多角度和多途徑地完善對數(shù)學新知的理解，也豐富了自己所積累的學習活動經(jīng)驗，這也是在“教、學、做”后的“講、探、練”的意義所在。在“變式應(yīng)用”這個環(huán)節(jié)，用四個問題組成的“問題串”把學生的思維不斷地引向深入，激發(fā)學生多向度、本質(zhì)性地認識問題，激活師生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，擴大了學生的“認知半徑”和提升思維品質(zhì)，也提高學習策略運用水平。</p><p style="text-align: justify;">知識是血肉，能力和方法才是靈魂；知識和方法相比，方法更容易成為能力；能力與方法攜手，便是潛在的創(chuàng)造力。數(shù)學知識的獲得和技能的養(yǎng)成是學生數(shù)學學習的內(nèi)容，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)、思維能力、學習品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)才是數(shù)學教學的目標。只有通過有效的活動讓學生在積累基本活動經(jīng)驗基礎(chǔ)上，進行“自覺體悟”，要經(jīng)過“教、學、做”相統(tǒng)一的學習過程，再經(jīng)過“講、探、練”相結(jié)合的思維過程，才能促進學生的智慧生成。</p><p style="text-align: justify;"> </p><p style="text-align: justify;">此論文發(fā)表在《初中教育研究》2017年第9期</p><p><br/></p><p style="text-align: justify;"> </p><p><br/></p><p style="text-align: justify;">[1] 此論文發(fā)表在《初中教學研究》2017年第9期.</p><p style="text-align: justify;">[2] 構(gòu)建自覺數(shù)學課堂的原則是“因材循導(dǎo)、自覺體悟、平等對話”，其主要教學策略元素是：<strong>思</strong>（引發(fā)真學）——<strong>展</strong>（多維促進）——<strong>變</strong>（變式引領(lǐng)）——<strong>悟</strong>（感悟反思）——<strong>歸</strong>（四基四能）．</p><p><br/></p>
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